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　　光學(xué)元件是很精密的元件，制作成本較高，如果能減少元件的厚度，甚至做成片狀透鏡，則不但可以減少光學(xué)元件的尺寸，從而縮小燈具或其他設(shè)備的大小，還可以節(jié)省材料，降低成本。由于厚度減少，光吸收也減少，燈具或儀器效率也會隨之提高，因此做成高質(zhì)量的薄片形的光學(xué)零件一直是光學(xué)設(shè)計追求的目標(biāo)之一。

　　菲涅爾(Fresnel)透鏡是一種片狀的薄形透鏡，它一直以其輕、薄、價格低廉優(yōu)勢而在一些方面得到應(yīng)用。但市場上的菲涅爾透鏡多為等差半徑的同心圓結(jié)構(gòu)，其制作缺乏精確的光學(xué)設(shè)計過程，導(dǎo)致成像質(zhì)量不是很高，有的甚至只是簡單的波紋結(jié)構(gòu)，其光學(xué)質(zhì)量就更差了。即使是較好的菲涅爾透鏡，也是通常將普通透鏡分為小段后，近似為折線，并經(jīng)過不同距離的簡單平移而形成，這些設(shè)計方法上的缺陷造成了菲涅爾透鏡的低質(zhì)量。

　　LED體積很小，但市場上銷售的LED用杯狀透鏡大都厚度在10mm以上，這成為LED在某些場合應(yīng)用的致命問題，雖然可以用菲涅爾透鏡來減薄透鏡的厚度和減少光吸收，但如何進(jìn)行精確的光學(xué)設(shè)計卻很少見到文獻(xiàn)報道。

　　本文介紹的是能獲得精確的超薄鋸齒形透鏡的設(shè)計方法，其光學(xué)質(zhì)量好，光線利用率較高。因為一般的菲涅爾透鏡在理論上就存在浪費，即透過透鏡的光線理論上就有一部分不能到達(dá)設(shè)計的目的地，本方法得到的透鏡對點光源來說理論上不存在浪費。此外，各個小鋸齒之間的距離也可根據(jù)需要而不同，而且在同一透鏡中不同位置的鋸齒間距也可變化，從而使這種方法設(shè)計的鋸齒形透鏡有更廣泛的適應(yīng)性，即它可以適應(yīng)不同的使用條件和不同的加工條件的需求。

　　這種鋸齒形透鏡適用LED為光源的二次光學(xué)透鏡。對于LED這種尺寸很小的光源，具有小而薄的光學(xué)透鏡是非常有意義的。

　　一、設(shè)計原理

　　單個透鏡一般是一個表面形狀為曲面的透明材料，其作用是改變光線的方向，形成所需的光強空間分布。其缺點是往往比較厚，因此體積大成本高，而且吸收也就大，特別是曲率大的透鏡更是如此。為簡單計，舉一個平凸透鏡的例子，原始的平凹透鏡見圖1(a)，相應(yīng)地傳統(tǒng)的菲涅爾透鏡見圖1(b)，為了說明原理，圖中齒距畫得比較大。

　　菲涅爾透鏡的設(shè)計原理其實是用若干小面來代替整個連續(xù)的大曲面。圖1(c)為傳統(tǒng)菲涅爾透鏡設(shè)計原理。圖1(b)的鋸齒狀菲涅爾透鏡的功能和圖1(a)的原始透鏡相同。傳統(tǒng)的設(shè)計方法可以用圖1(c)表示。實際上圖1(b)的菲涅爾透鏡可以看成是由圖1(a)的透鏡刪除多個矩形部分，再把剩余部分往下移動成一個片狀而成為菲涅爾透鏡的。見圖1(c)，其中臺階狀陰影就是被刪除的多個矩形組成的部分。

　　顯然圖1(b)這一菲涅爾透鏡比透鏡(a)要薄，從而吸收小，節(jié)省材料。但這種按傳統(tǒng)方法設(shè)計的透鏡只對平行光是正確的，這時(c)中陰影部分對光線是沒有影響的。但是若是非平行光，如LED為光源時，(c)中的陰影部分對光線就有影響了。若把它刪除制成菲涅爾透鏡，就會造成很大的雜散光。此外，若透鏡的截面用折線代替小弧線，也會帶來光學(xué)上的誤差。

　　為了克服上述缺點，我們提出用兩種新的方法來設(shè)計菲涅爾透鏡。這里我們針對單個LED來設(shè)計，對其他光源，設(shè)計原理是相同的，因此原則上也可以推廣到其他光源。

　　新方法的基本思想是讓被刪除的無效部分的邊緣沿著光線劃分，而且有效的剩余部分移動時是沿著光線的，同時還按一定比例變化其尺寸，這樣光線在透鏡中傳播時不會打到這些邊緣無效部分去，而且還將按原方向折射。這樣就使得散射光減少，透鏡的光學(xué)效率也就提高了。

　　二、設(shè)計方法

　　1、分角度法

　　我們假定原始透鏡的入射面為平面，出射面（圖2中AB所在的面）為曲面。至于如何設(shè)計原始曲面，則不在本文的涉及范圍之內(nèi)。而新的出射面為我們要設(shè)計的鋸齒形。

　　在本文中，我們可以假定O點為光源經(jīng)過入射面后的虛擬像點的位置，也就是光線由O點出發(fā)經(jīng)出射面后到達(dá)像面（透鏡的作用可以不是“成像”而是照明）。這樣我們就把入射面的作用包括在內(nèi)了。我們可以將AB所在的曲面按對O點所張的角度劃分成若干小段。圖中AB就是其中的一個小段。我們不是按照第一節(jié)中那樣將這些小段垂直移動下來，而是將其沿光線方向移動，而且移動的同時按線性比例縮放。這樣AB就縮放到了A’B’。按照線性光學(xué)原理，小面A’B’所造成的光線折射的方向與小面AB的是完全相同的，只是光線的位置有微小的區(qū)別。由于透鏡尺寸比像距小得多，而OA與OA’之間的距離差比像距更是個二級小量，因此我們完全可以只關(guān)心出射光線的角度設(shè)計前后不變而不關(guān)心光線位置的微小變化，也就是說變化前后的小面將不對整個透鏡的光學(xué)效果帶來明顯的差別，特別對照明用的透鏡更是如此。

　　此外，角度的劃分可以是均等的，也可以是不等的，這兩種情況都不影響光學(xué)效果。為了說明問題，圖2只將透鏡分成了8份，實際上分割的數(shù)目越大透鏡就可以越薄。不過，如下文所說，數(shù)目多了會帶來新的問題。

　　但是可以看到，上述方法一個缺點是透鏡的鋸齒厚度會不同，這可能會影響透鏡的強度。下面提出另一種方法，可以做到鋸齒厚度相等，雖然設(shè)計過程復(fù)雜一些，但它不但可以克服厚度不等的問題，而且消除雜散光。

　　2、分厚度法

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